1. ELEMENTOS BÁSICOS DEL LENGUAJE ALGEBRAICO
¿Qué es el lenguaje algebraico?
El lenguaje algebraico es una forma de expresar
relaciones matemáticas utilizando variables (letras) y números. Este
lenguaje permite generalizar situaciones y resolver problemas de manera
abstracta. Por ejemplo, en lugar de decir "el doble de un número más
tres", podemos escribirlo como 2x+3
Diferencia entre expresión numérica y
expresión algebraica
·
Expresión
numérica: Solo contiene números
y operaciones aritméticas. Por ejemplo:
3+5×2
Para resolverla, seguimos las reglas de
prioridad de operaciones:
3+(5×2)=3+10=13
·
Expresión
algebraica: Incluye variables,
números y operaciones. Por ejemplo:
3x+5y
Aquí, x e y son variables que representan valores
desconocidos.
Variables, coeficientes y términos
·
Variable: Es un símbolo (generalmente una letra) que
representa un valor desconocido o que puede variar. Por ejemplo, en 3x+5y, x e y son variables.
·
Coeficiente: Es el número que multiplica a una variable. En 3x, el coeficiente es 3.
·
Término: Es una parte de la expresión algebraica separada por
sumas o restas. En 3x+5y, 3x y 5y son
términos.
Ejercicios resueltos:
1. Identifica las variables, coeficientes y términos en la
expresión 7a−4b+9:
o Variables: a, b.
o Coeficientes: 7 (en 7a),
-4 (en −4b), 9 (es un término constante).
o Términos: 7a, −4b, 9.
2. Escribe en lenguaje algebraico: "El triple de un número
menos cinco":
o Respuesta: 3x−5.
2.
EXPRESIÓN ADECUADA EN ÁLGEBRA
Importancia de elegir la mejor forma de
expresión
La forma en que se expresa una ecuación o
expresión algebraica puede facilitar su resolución. Por ejemplo:
·
Una
expresión factorizada es útil para resolver ecuaciones.
·
Una
expresión desarrollada es útil para evaluar valores específicos.
Contextos en los que se usa cada tipo de
expresión
1. Expresión desarrollada: Se usa para evaluar valores o simplificar términos.
o Ejemplo: (x+2)(x+3)=x2+5x+6.
2. Expresión factorizada: Se usa para resolver ecuaciones o identificar raíces.
o Ejemplo: x2−4=(x+2)(x−2).
3. Expresión simplificada: Se usa para reducir la complejidad de una expresión.
o Ejemplo: 3x+2x=5x.
Ejercicios resueltos:
1. Desarrolla la expresión (x+4)2(x+4)2:
o Solución:
(x+4)2=x2+2⋅x⋅4+42=x2+8x+16
2. Factoriza la expresión x2−9x2−9:
o Solución:
x2−9=(x+3)(x−3)
3.
EXPRESIÓN SIMPLIFICADA Y DESARROLLADA DE UN NÚMERO
Reducción de términos semejantes
Consiste en sumar o restar términos que
tienen la misma variable y exponente. Por ejemplo:
4x+3x−2x=(4+3−2)x=5x
Propiedades de la suma y multiplicación en
expresiones algebraicas
1. Conmutativa:
o Suma: a+b=b+a
o Multiplicación: a×b=b×a
2. Asociativa:
o Suma: (a+b)+c=a+(b+c).
o Multiplicación: (a×b)×c=a×(b×c).
3. Distributiva:
o a×(b+c)=a×b+a×c.
Ejercicios resueltos:
1. Simplifica la expresión 5x+3y−2x+y:
o Solución:
5x−2x+3y+y=3x+4y
2. Aplica la propiedad distributiva en 2(x+4):
o Solución:
2(x+4)=2x+8
4.
FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES
¿Qué es la factorización y para qué sirve?
La factorización es expresar una expresión
algebraica como un producto de factores más simples. Sirve para simplificar
expresiones, resolver ecuaciones y analizar propiedades matemáticas.
Tipos de factorización
1. Factor común:
o Ejemplo: 6x+9y=3(2x+3y).
2. Diferencia de cuadrados:
o Ejemplo: x2−16=(x+4)(x−4).
3. Trinomio cuadrado perfecto:
o Ejemplo: x2+6x+9=(x+3)2.
4. Suma o diferencia de cubos:
o Ejemplo: x3+8=(x+2)(x2−2x+4).
Productos notables más utilizados
1. Cuadrado de un binomio:
o Ejemplo: (x+5)2=x2+10x+25.
2. Suma por diferencia:
o Ejemplo: (x+3)(x−3)=x2−9.
3. Cubo de un binomio:
o Ejemplo: (x+2)3=x3+6x2+12x+8.
Ejercicios resueltos:
1. Factoriza x2−25x2−25:
o Solución:
x2−25=(x+5)(x−5)
2. Desarrolla (x−4)2:
o Solución:
(x−4)2=x2−8x+16
5. Aplicación en la resolución de problemas
Elección de la forma más conveniente según
el problema
·
Para resolver
ecuaciones, la forma factorizada es útil.
·
Para evaluar
expresiones, la forma desarrollada o simplificada es más práctica.
Ejemplos prácticos en problemas cotidianos y
matemáticos
1. Problema cotidiano:
Calcular el área de un terreno rectangular.
o Expresión algebraica: A=l×a.
o Si l=x+5 y a=x−3, el área es:
A=(x+5)(x−3)=x2+2x−15
2. Problema matemático:
Resolver la ecuación x2−5x+6=0.
o Factorización: (x−2)(x−3)=0.
o Soluciones: x=2 x=3.
Ejercicios resueltos:
1. Resuelve la ecuación x2−9=0:
o Solución:
x2−9=0 ⟹ (x+3)(x−3)=0 ⟹ x=−3 o x=3
2. Simplifica la expresión 3(x+2)−2(x−1)3(x+2)−2(x−1):
o Solución:
3(x+2)−2(x−1)=3x+6−2x+2=x+8
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